Archimède: aire du disque

Archimède prouve que le coefficient de proportionnalité entre l'aire <math>S</math> du disque et le carré de son rayon est le même qu'entre le périmètre <math>P</math> du cercle et son diamètre: <math>P=2 \pi R</math>, <math>S=\pi R^2</math>.

L'idée est de découper le disque en secteurs, qu'on réarrange sous une forme se rapprochant d'un trapèze d'aire convergeant vers <math>\pi R^2</math>. Vous pouvez modifier le nombre de secteurs et bien-sûr faire jouer l'animation.

R\times \cos\left(\frac\pi{n}\right)\longrightarrow\limits_{n\to+\infty}R

R

π/n

a = 6.283185307179586 rad (slider from 0 to 359.9999°, step 1°)
n = 5 (slider from 3 to 30, step 1)
b = If(Mod[n, 4] ≟ 1, 1, 0)
imp = Mod(n, 2)
rb: ℯ^((((2 * π) - a) * ί / n))
h: cos(π / n)
r: exp(((2 * ί) * π / n))
c = Distance((1, 0), r)
ns2: floor(n / 2)
ns4: floor(n / 4)
liste3: (ί * (Sequence[1 + ((ℯ^(((-a) * ί / ((2 * n)))) * (r - 1)) * (1 - rb^(k)) / (1 - rb)), k, ns4 - ns2 - b / 2, ns4 + imp - b / 2] - (a / ((4 * π)) - (((a * ((2 * π) - a)) * (1 + (2 * (a / π - 1)^(2))))) / 20) + (a * (((c * (1 - imp)) * ί) - (2 * (1 - h))) / ((8 * π)))))
d = Circle((0, (-tan(a / 4))), 1 + tan(a / 4))
liste1: ((-ί) * (Sequence[1 + ((ℯ^(((-a) * ί / ((2 * n)))) * (r - 1)) * (1 - rb^(k + imp / 2)) / (1 - rb)), k, ns4 - ns2 - b / 2, ns4 - b / 2] - (a / ((4 * π)) - (((a * ((2 * π) - a)) * (1 + (2 * (a / π - 1)^(2))))) / 20) + (a * (((c * ί) * (1 - imp)) - (2 * (1 - h))) / ((8 * π)))))
liste5 = Sequence(CircleSector[(Element[liste3, k] + Element[liste3, k + 1]) / 2 + (((Element[liste3, k + 1] - Element[liste3, k]) * ί) * h / c), Element[liste3, k], Element[liste3, k + 1]], k, 1, ns2 + imp)
liste2 = Sequence(CircleSector[(Element[liste1, k] + Element[liste1, k + 1]) / 2 + (((Element[liste1, k + 1] - Element[liste1, k]) * ί) * h / c), Element[liste1, k], Element[liste1, k + 1]], k, 1, ns2 + 1)
imp_1 = Mod(n, 2)
h_1: cos(π / n)
r_1: exp(((2 * ί) * π / n))
ns2_1: floor(n / 2)
ns4_1: floor(n / 4)
h_2: cos(π / n)
r_2: exp(((2 * ί) * π / n))
ns2_2: floor(n / 2)
ns4_2: floor(n / 4)
h_3: cos(π / n)
r_3: exp(((2 * ί) * π / n))
ns2_3: floor(n / 2)
ns4_3: floor(n / 4)
e = Segment(liste1(1), liste1(-1))
f = Segment(liste3(1), liste3(-1))
g = Segment(liste3(1 + imp + If[Mod[n, 4] ≟ 2, 1, 0]), (liste1(-1) + liste1(-2)) / 2)
texte1_1: "" + (LaTeX[(2 * (ns2_1 + imp_1))]) + "\times R\sin\frac{\pi }n\longrightarrow\limits_{n\to+\infty}\pi\times R"
texte1_2: "" + (LaTeX[(2 * ns2_2)]) + "\times R\sin\frac{\pi }n\longrightarrow\limits_{n\to+\infty}\pi\times R"
i = Segment(liste1(1), liste3(-1))
j = Segment(liste3(1 + imp + If[Mod[n, 4] ≟ 2, 1, 0]), liste1(-1))
β = Angle(g, j)